Mechanics · 功和能
机械能守恒定律
机械能守恒定律研究只有重力或系统内弹力做功时动能与势能总和不变。学习这一知识点需要先辨认物理对象和过程，再把文字条件转换为规范图示或物理量关系；计算时应注明公式成立的模型、方向和单位，并用极端情形或量纲检查结果，避免只记结论而忽略适用边界。
学习目标
- 合理选择系统和零势能面。
- 判断是否只有重力或系统内弹力做功。
- 在两个状态间列机械能守恒式。
- 发现非保守力做功时改用功能关系。
前置知识
elastic-potential
物理现象
摆球下落时速度增大、位置降低，动能和重力势能此消彼长。
模型建立
把物体与地球或弹簧组成系统，检查系统外力和非保守内力是否做功。
核心规律
只有重力或系统内弹力做功时，系统动能与势能之和保持不变。
公式与适用条件
E_k1+E_p1=E_k2+E_p2E_p=mgh；E_elastic=½kx²选定系统内只有重力或弹力做功；不存在不可忽略的摩擦等耗散。；mgh适用于近地面重力近似恒定；弹性势能式适用于理想轻弹簧且满足胡克定律。
物理量说明
- E_k：动能，J
- E_p：重力势能或弹性势能，J
- h：相对零势能面高度，m
- k：劲度系数，N/m
- x：形变量，m
示例
物体从高h处由静止无摩擦下滑，mgh=½mv²，因此末速度v=√(2gh)。
理论说明与推导
- 重力做功W_G=−ΔE_p。
- 由动能定理ΔE_k=W_G（只有重力做功），得ΔE_k+ΔE_p=0，即机械能总量不变。
典型例题
无阻力下落
物体从距地面20 m处由静止下落，忽略空气阻力，g=10 m/s²，求落地前速率。
建模：选物体与地球为系统，地面为零势能面。
- mgh=½mv²。
- v=√(2×10×20)=20 m/s。
结论：落地前速率20 m/s。
复核：质量约去；与自由落体公式v²=2gh一致。
弹簧释放
0.50 kg物块连接水平理想弹簧，k=200 N/m，压缩0.10 m后由静止释放，水平面光滑，求平衡位置速率。
建模：物块与弹簧为系统，只有弹力做功。
- ½kx²=½mv²。
- v=x√(k/m)=0.10√(200/0.50)=2.0 m/s。
结论：平衡位置速率2.0 m/s。
复核：J转化为kg·m²/s²，量纲正确。
分层练习
基础
物体无阻力下降5 m，g=10 m/s²，重力势能减少多少（质量2 kg）？
答案
100 J。
提高
摆球从比最低点高0.80 m处静止释放，最低点速率？g=10 m/s²。
答案
4.0 m/s。
综合
若上题克服阻力做功1.0 J且质量0.50 kg，最低点动能？
答案
初势能4.0 J，末动能3.0 J。
常见错误
- 有滑动摩擦做功时仍写机械能守恒。
- 没有说明系统边界，把重力势能错误地只归给单个物体。
- 初末状态使用不同零势能面，或把高度与沿轨迹路程混淆。